第20章 ABC猜想

在学习空隙，他也抽空不断完善《马氏数学解析1.0》的编译，他准备在毕业前，用这前所未有软件，再解决一道数学难题，论证《ABC猜想》。
若是论证一个猜想可能被大家认为是天才，若再论证一个数学难题，甚至由此证明他的新数学体系，那么他才可能被全球学术界认同为数学领域的大师地位。
《ABC猜想》是数论领域的重要猜想，由乔瑟夫·奥斯达利及大卫·马瑟在1985年提出，因此又称为“奥斯达利–马瑟”猜想。
数学家戈德菲尔德曾说过：“ABC猜想是丢番图方程尚未解决的问题中最为重要的一个！”
一般情况下，数论领域的猜想表述起来都比较精确直观。
比如已经被安德鲁·怀尔斯证明了的费马大定理，可以直接表示为：当整数n2时，关于x，y，z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。
又如马由已证明的《哥猜》，一句话就能看懂：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
但《ABC猜想》却是个例外。
它理解起来非常抽象。
简单地说，就是有3个数：a、b和c=a+b，如果这3个数互质，没有大于1的公共因子，那么将这3个数不重复的质因子相乘得到的d，看似通常会比c大。
举个例子：a=2，b=7，c=a+b=9=3*3。
这3个数是互质的，那么不重复的因子相乘就有d=2*7*3=42c=9。
大家还可以实验几组数，比如：3+7=10，4+11=15，也都满足这个看起来正确的规律。
但是，这只是看起来正确的规律，实际上存在反例！
由荷兰莱顿大学数学研究所运营的网站就在用基于BOINC的分布式计算平台分布式计算寻找ABC猜想的反例，其中一个反例是3+125=128：其中125=5^3，128=2^7，那么不重复的质因子相乘就是3*5*2=30，128比30要大。
事实上，计算机能找到无穷多的这样反例。
于是我们可以这样表述ABC猜想，d“通常”不比c“小太多”。
怎么叫通常不比c小太多呢？
如果我们把d稍微放大一点点，放大成d的（1+ε次方），那么虽然还是不能保证大过c，但却足以让反例从无限个变成有限个。
这就是ABC猜想的表述了。ABC猜想不但涉及加法（两个数之和），又包含乘法（质因子相乘），接着还模糊地带有点乘方（1+ε次方），最坑爹的是还有反例存在。
因此，这个猜想的难度可想而知。
事实上，除了尚未解决的涉及多个数学分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，其他数论中的猜想，诸如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，以及已经解决的费马大定理，基本上都没有ABC猜想重要。
这是为何呢？
首先，ABC猜想对于数论研究者来说，是反直觉的。
历史上反直觉的却又被验证为正确的理论，数不胜数。
一旦反直觉的理论被证实是正确的，基本上都改变了科学发展的进程。
举一个简单的例子：牛顿力学的惯性定律，物体若不受外力就会保持目前的运动状态，这在17世纪无疑是一个重量级的思想炸弹。
物体不受力状态下当然会从运动变为停止，这是当时的普通人基于每天的经验得出的正常思想。
而实际上，这种想法，在任何一个于20世纪学习过初中物理、知道有种力叫摩擦力的人来看，都会显得过于幼稚。
但对于当时的人们来说，惯性定理的确是相当违反人类常识的！
ABC猜想之于现在的数论研究者，就好比牛顿惯性定律之于十七世纪的普通人，更是违反数学上的常识。
这一常识就是：“a和b的质因子与它们之和的质因子，应该没有任何联系。”
原因之一就是，允许加法和乘法在代数上交互，会产生无限可能和不可解问题，比如关于丢番图方程统一方法论的希尔伯特第十问题，早就被证明是不可能的。
如果ABC猜想被证明是正确的，那么加法、乘法和质数之间，一定存在人类已知数学理论从未触及过的神秘关联。
再者，ABC猜想和其他很多数论中的未解问题有着重大联系。
比如刚才提到的丢番图方程问题、费马最后定理的推广猜想、Mordell猜想、Erd?s–Woods猜想等等。
而且，ABC猜想还能间接推导出很多已被证明的重要结果，比如费马最后定理。
从这个角度来讲，ABC猜想是质数结构的未知宇宙的强力探测器，仅次于黎曼猜想。
一旦ABC猜想被证明，对于数论的影响之巨大，无异于相对论和量子物理之于现代物理学。
要解决这个猜想，需找到一把钥匙，通过各种资料的查询，马由基本确定了远阿贝尔几何，作为解开ABC猜想的一个途径。
远阿贝尔几何由代数几何教皇格罗滕迪克于二十世纪八十年代创建，是数学界一门非常年轻的学科。
这门学科研究对象是不同几何物体上的代数簇的基本群的结构相似性。
近代分析学之父巴纳赫说：“数学家能找到定理之间的相似之处，优秀的数学家能看到证明之间的相似之处，卓越的数学家能察觉到数学分支之间的相似之处。最后，究级的数学家能俯瞰这些相似之处之间的相似之处。”
格罗腾迪克，便称得上是真正意义上的究级数学家，远阿贝尔几何便是一门研究“相似之相似”的数学分支。
数学界曾经流传一句话：爱因斯坦对物理学有多重要，格罗滕迪克对数学就有多重要。
在现代代数几何领域，格罗滕迪克就是当之无愧的教皇。
格罗滕迪克的数学向来以艰涩着称，因为他几乎不考虑具体的示例，都是从尽可能抽象的角度出发，思考支配某个数学问题背后的宏大数学结构。
远阿贝尔几何便是格罗滕迪克在他的遗作《纲领草案》中留下的宏伟框架，只可惜还没来得急往里面填充血肉，这位二十世纪最伟大的数学家便在离群索居中离开了人世。
接下来里时间，马由全身心投入到远阿贝尔几何和一般化泰希米勒几何理论的相关研究中去。
这一理论抽象晦涩，理解起来很难，马由隐隐能感受到这一理论背后所隐藏着的宏大的数学结构。
他用电脑没日没夜地推演，通过这些解析，对远阿贝尔几何的理解也在逐步深入。
但有一点可以肯定，用远阿贝尔几何，确实能表现出加法结构和乘法结构的相似性，而ABC猜想的核心，便与这两大问题有关。
马由总觉得，以现有的远阿贝尔几何框架，恐怕很那解决这一问题。
必须在这一框架下增加一些全新的东西。
若自己想要证明ABC猜想的话，恐怕得提出一套全新的理论体系才行。
但这个难度更大了，在数学领域，攻克一个猜想容易，但想要开创一套体系却极难。
但凡开创一套全新数学体系的，几乎都是开宗立派大宗师级别的人物。
比如开创群论的伽罗瓦，虽然他在21岁那年便英年早逝，但在任何有史以来最伟大数学家排名标准中，伽罗瓦都是前五乃至前三的存在。
又比如，现代代数几何奠基人格罗滕迪克，EGA、SGA、FGA，洋洋洒洒数千页，是代数几何史上的不朽名着，使代数几何这个古老的数学分支焕发出了新的活力，最终导致他的学生皮埃尔·德利涅完全证明了韦伊猜想，这被认为是20世纪纯粹数学最重大的成就之一。
电脑飞速运行，软件解析数字构建的模型，出现了一道破口，马由眼神越来越亮。
他终于触摸到了数论宇宙的边缘。
坚硬的冰层开始破碎融化，潜藏在冰层下的深层次素数结构渐渐浮出水面。
远阿贝尔几何的框架体系被他彻底揉碎重组，一套全新的数学理论正在悄然酝酿。
一种即将突破的预感从心中涌出，马由闭上眼睛，整理思路，再度在软件上，调整各种系数。
渐渐的，一条全新的数学道路，开始呈现在他的眼前，前程荒凉，但道路已通达，等待着他去拓荒。
现在的远阿贝尔几何更准确地说，应叫做《马氏几何》。
他吸收了远阿贝尔几何的精华，对其框架体系进行了大刀阔斧的改革，它不但能精确描述加法结构与乘法结构的相似性，甚至还能描述乘方性质。
这是一套全新的数学体系，将其命名为《马氏几何》，实至名归。
而且马由隐隐感觉到，接下来，只要他慢慢将这一理论填充血肉，补上各种漏洞，到时候不但能完美解决ABC猜想，甚至孪生素数猜想、冰雹猜想等数论领域的着名问题，都在它的解决范围内。
只是现在，这一理论还相当稚嫩，马由也只是想到了一个初步的框架结构，他也没办法预测，自己到底需要多久才能将这一理论补充完整。但是有电脑和软件的运算，这个目标到不难完成，仅仅是水磨工夫，花费一点时间而已。
他也不急，大学毕业后，研究生阶段来完成，甚至拖到千禧年后，可一举推论千禧年七大猜想中的部分难题，并顺理成章。
但有了正确的工具，先把问题解决，将来有机会再完善这个工具，才是正确的方式。
他需要短时间出成果，确立自己在这个领域的学术能力。